СМО

Системы массового обслуживания

Основные формулы

В качестве показателей эффективности СМО с ожиданием, кроме основных показателей — абсолютной A и относительной Q пропускной способности, вероятности отказа $P_{\text{otk}}$ , среднего числа занятых каналов к (для многоканальной системы) будем искать также следующие:

1) $L_{\text{sist.}}$ — среднее число заявок в системе;
2) $T_{\text{sist.}}$ — среднее время пребывания заявки в системе;
3) $L_{\text{och.}}$ — среднее число заявок в очереди (длина очереди);
4) $T_{\text{och.}}$ — среднее время пребывания заявки в очереди;

Рассмотрим задачу. Имеется n-канальная СМО с неограниченной очередью. Поток заявок поступающих в СМО имеет интенсивность $\lambda$ , а поток обслуживании интенсивность $\mu$ . Необходимо найти необходимо найти предельные вероятности состояний СМО и показатели ее эффективности.

Пусть

$p_0=(1+\frac{\rho^1}{1!}+\frac{\rho^2}{2!}+\ldots+\frac{\rho^n}{n!}+\frac{\rho^{n+1}}{n!(n-\rho)})^{-1}$

$p_1=\frac{\rho^1}{1!}*p_0,\ldots,$

$p_k=\frac{\rho^k}{k!}*p_0,\ldots,$

$p_n=\frac{\rho^n}{n!}*p_0$

$p_{n+1}=\frac{\rho^{n+1}}{n*n!}*p_0\ldots$

$p_{n+r}=\frac{\rho^{n+1}}{n^r*n!}*p_0,$

где

$\rho=\frac{\lambda }{\mu},$

если $\rho>1$ , то очередь растет бесконечно. $n$ — количество обслуживающих каналов. С помощью этих формул находим показатели эффективности.

Вероятность того, что заявка окажется в очереди

$p_{och}=\frac{\rho^{n+1}}{n!(n-\rho)}*p_0$

Среднее число занятых каналов

$k =\frac{\lambda }{\mu }=\rho$

Среднее число заявок в очереди

$L_{och}=\frac{\rho^{n+1}*p_0}{n*n!}*(1-\frac{\rho}{n})^{-2}$

Среднее число заявок в системе

$L_{sist}=L_{och}+\rho$

Среднее время пребывания в очереди

$T_{och}=\frac{1}{\lambda }*L_{och}$

Среднее время пребывания заявки в очереди

$T_{sist}=\frac{1}{\lambda }*L_{sist}$

Программа находит оптимальное количество обслуживающих каналов, и показатели эффективности. Допустим директор компании не хочет, чтобы его клиенты не стояли больше 15 минут или накопилось больше 20 человек. То он вводит в программу необходимые данные:
1) Интенсивность клиентов за 1 час
2) Сколько минут обслуживает 1 канал одного клиента
3) 20 чел
4) 15 минут

Добавить комментарий Отменить ответ

Этот сайт использует Akismet для борьбы со спамом. Узнайте, как обрабатываются ваши данные комментариев.